Logaritmo

Definición

Dados dos números positivos, b y x, definimos logaritmo en base b de x a un número y tal que by = x, y lo escribimos de la forma y = logb x. Es decir:

y = logb x si, y sólo si by = x

b se llama base de los logaritmos, x es el número del que queremos calcular el logaritmo e y es el logaritmo en base b de x. Por tanto, y = logb x se lee «y igual al logaritmo en base b de x» y significa que la base b, elevada al logaritmo y, es igual a x.

Hemos definido los logaritmos sólo de los números positivos, luego con arreglo a la definición sólo se podrán calcular los logaritmos de los números positivos. Y puesto que los logaritmos se pueden calcular en distintas bases, un mismo número puede tener distintos logaritmos en bases distintas.

Veamos algunos ejemplos:

Calcular log2 8:

Escribimos y = log2 8, y ese número y, que tratamos de calcular, debe ser tal que 2y = 8; pero como 8 = 23 podemos escribir 2y = 23 por lo que y = 3. Por consiguiente, log2 8 = 3.

Calcular log3 9:

Igual que antes, buscamos un número y tal que y = log3 9, es decir, buscamos un número y tal que 3y = 9 y como 9 = 32, escribimos 3y = 32 por lo que y = 2. Por tanto log3 9 = 2.

Calcular log5 9788499635774 MA285A A.jpg

Hacemos como siempre 9788499635774 MA285B A.jpg por lo que 9788499635774 MA285C A.jpg y 125 = 53, luego 9788499635774 MA285D A.jpg pero 53 en el denominador lo podemos pasar al numerador cambiando el signo al exponente 1/53 = 5–3 y así tenemos 5y = 5–3, deducimos entonces que y = –3, lo que significa que

9788499635774 MA285E A.jpg

Calcular log1/4 1024.

Escribimos y = log1/4 1024, por lo que 9788499635774 MA285F A.jpg = 1024. Y, como hemos hecho en los ejemplos anteriores, escribimos el número del que queremos calcular el logaritmo en forma de potencia de la base: 1024 = 45, para ello no tienes más que dividir 1024 sucesivamente por 4:

9788499635774 MA285G A.jpg

y como has dividido cinco veces por cuatro hasta obtener el resto 0, escribes 1024 = 45. Por consiguiente en la primera ecuación tienes: 9788499635774 MA285F A.jpg = 45 ; pero 9788499635774 MA285I A.jpg, porque para elevar una fracción a una potencia se eleva cada uno de sus términos a esa potencia. Además, 1 elevado a cualquier exponente es siempre 1. Luego 1y = l. Queda la ecuación anterior de la forma: 9788499635774 MA286A A.jpg pero sabes que 9788499635774 MA286B A.jpg por tanto 9788499635774 MA286C A.jpg de donde deduces que y = – 5. Luego log1/4 1024 = – 5.

Este es el procedimiento que se sigue para el cálculo de logaritmos de números sencillos en bases también sencillas (cuando el número sea una potencia de la base): la base elevada al logaritmo que queremos calcular, debe ser igual al número del que tratamos de calcular el logaritmo; a continuación se descompone el número en potencias de la base y se igualan los exponentes.

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